6 Z-Transform

字数 10,823｜阅读时间 22 分钟｜Ayaskt

2026/03/19 15:54:53 CST

憧憬是距离理解最遥远的感情。

TIP

说实话，我真没感觉出这里的 ZT 和信号与系统里的 ZT 有什么区别 ...

搞不好，信号与系统里学的还深一点。

带 ☆ 的内容为 Key Points。

章节目录

• 章节目录
• 6-1 ☆ Z 变换的定义与性质
  • 6-1-1 ☆ 从 DTFT 到 ZT
  • 6-1-2 ☆ Z 变换的基本性质
  • 6-1-3 ☆ 基本序列的 Z 变换
• 6-2 有理 Z 变换 Rational ZT
  • 6-2-1 有理 ZT 的基本形式
  • 6-2-2 有理 ZT 的零点 Zeros 和极点 Poles
• 6-3 有理 Z 变换的 ROC
  • 6-3-1 基于方向分类序列
  • 6-3-2 序列的 ROC
• 6-4 ☆ 反 Z 变换 Inverse Z-Transform, IZT
  • 6-4-1 ☆ 留数定理及一般表达式
  • 6-4-2 ☆ 查表法求解 IZT
  • 6-4-3 ☆ 部分分式法求解 IZT
  • 6-4-4 ☆ 长除法求解 IZT
• 6-5 ☆ ZT 的性质
• 6-7 传递函数 Transfer Function
  • 6-7-1 定义
  • 6-7-2 传递函数的表示
  • 6-7-3 来自传递函数的频域响应
  • 6-7-4 频域响应的几何解释
  • 6-7-5 极点位置与稳定条件

6-1 ☆ Z 变换的定义与性质

CAUTION

本节被标注为 Key Point 。

6-1-1 ☆ 从 DTFT 到 ZT

回顾 DTFT 的定义式：

不难发现，其自变量被限制在了 复平面的单位圆 Unit Circle 上。

思路打开，如果我们不再拘束于单位圆，而选择将自变量扩展到整个复数域上，就可以得到 Z 变换的定义。

即，一个离散序列的 Z 变换为：

其中

。

---

6-1-2 ☆ Z 变换的基本性质

1. Z 变换的退化

可以使用极坐标的方式换元 自变量，此时 ZT 简化为：

如果我们令 ，不难发现此时 ZT 退化为复平面上的单位圆，即 DTFT （前提是该序列的 DTFT 存在）。

2. 收敛域 Region of Convergence, ROC

对于 ZT 定义式中的无穷级数项：

，显然 的不同取值会影响其收敛性。

对于一个给定的序列，使该序列的 ZT 能收敛的 构成的集合被称为该序列的 收敛域 Region of Convergence, ROC。

3. ROC 的条件

回到 ZT 的极坐标表达，我们可以将 ZT 看作对序列先做 的加权，再对其做 DTFT 。

通过这样的等效，我们可以采取 DTFT 收敛的方法来分析 ZT 的 ROC。

由于 DTFT 在复平面中等效为一个单位圆上的旋转，因此 ZT 在复平面可以看作不同半径为 的圆，所以 ZT 的 ROC一定为一个环形区域。

同时也可以想到， ZT 收敛的条件为加权序列 绝对可和

NOTE

Z变换是一种Laurent级数的形式，并且在ROC中的每个点都是一个解析函数。

---

6-1-3 ☆ 基本序列的 Z 变换

Sequence	Z-Transform	ROC
		All values of

6-2 有理 Z 变换 Rational ZT

6-2-1 有理 ZT 的基本形式

在本科阶段的课程中，我们通常只关注有理的 Z 变换。

通常，一个有理 ZT 可以写作两个多项式所构成的分式：

或者因式分解形式：

---

6-2-2 有理 ZT 的零点 Zeros 和极点 Poles

对于一个有理 ZT

• 将其分子的根称为这个 ZT 的 零点 Zeros，使得 ；
• 将其分母的根称为这个 ZT 的 极点 Poles， 趋于无穷大。

如果 ZT 的形式为：

这个因子会额外在原点 产生零点或极点。

1. 情况一：

此时 为正幂，因此在 处会额外产生 个零点。

也就是说，除了原本的 个有限零点外，在原点还会多出 个零点。

2. 情况二：

此时

因此在 处会额外产生 个极点。

也就是说，除了原本的 个有限极点外，在原点还会多出 个极点。

6-3 有理 Z 变换的 ROC

单独的 ZT 无法唯一确定原序列的表达式。必须要带上 ROC 才能推断原序列。

因此一个标准的 ZT 表达式必然带有其 ROC 。

6-3-1 基于方向分类序列

我们可以按照以下四种方向来分类离散时间序列：

1. 有限序列 Finite Sequence
2. 右侧序列 Right-sided Sequence
3. 左侧序列 Left-sided Sequence
4. 两侧序列 Two-sided Sequence

X 侧序列的意思是该序列在坐标轴上向 X 侧无限延伸。

例如一个右侧序列自变量的有效取值范围为： 。

---

6-3-2 序列的 ROC

在开始之前，必须要阐述一条非常重要的原则：

IMPORTANT

极点 Poles 决定了 ROC 的边界。

换而言之，在复平面上，ROC 的区域绝对不能包含极点。

假设复平面上有 ， ， 三个极点(如下图所示)，则可能的 ROC 有四种情况：

1. ROC：（最外侧）

• 区域：所有极点之外
• 序列类型：右边序列（若从 开始，则为因果序列）
• 物理意义：信号向右无限延伸；因果时只在 存在

2. ROC：（外环）

• 区域：介于 与 之间
• 序列类型：双边序列
• 结构：
  • 一部分为右边序列（由 对应）
  • 一部分为左边序列（由 对应）

3. ROC：（内环）

• 区域：介于 与 之间
• 序列类型：双边序列
• 结构：
  • 一部分为右边序列（由 对应）
  • 一部分为左边序列（由 对应）

4. ROC：（最内侧）

• 区域：所有极点之内
• 序列类型：左边序列（若只在 存在，则为反因果序列）
• 物理意义：信号向左无限延伸

NOTE

ROC 一定是不包含任何极点的连通区域；

对于 个极点，最多有 种 ROC。

本题中：

6-4 ☆ 反 Z 变换 Inverse Z-Transform, IZT

CAUTION

本节被标注为 Key Point 。

6-4-1 ☆ 留数定理及一般表达式

1. 留数 Residue

在 处的 留数 Residue 定义为其洛朗展开中 项的系数 ，记作：

其中 是在去心邻域内绕 的任意一条正向（逆时针）简单闭合曲线。

2. 留数定理 Cauchy's Residue Theorem

TIP

围道积分 Contour Integral 是复变函数中的核心概念，本质上是沿着复平面上一条曲线进行的积分。

设 在简单闭合曲线 及其内部除有限个孤立奇点 外处处解析，则：

核心思想：复杂的围道积分可以转化为对各奇点留数的求和，极大地简化了计算。

3. ZT 的一般形式

逆 Z 变换定义为：

其中 是一条逆时针方向的围道积分路径，定义在 上，且必须落在 ROC 内。

• 上述围道积分直接计算非常困难
• 可以利用 柯西留数定理 来求解该围道积分：

根据留数定理，令

若 在围道 上连续，且围道 内部有 个极点 ，外部有 个极点 ，则：

• 当 为逆时针方向时：

• 当 为顺时针方向时：

4. 使用留数定理求 IZT

• 若 是 的一阶极点，则留数为：

TIP

方法：把导致分母为零的因子 乘上去消掉，然后代入 。

• 若 是 的 阶极点（即分母含 ），则留数为：

例：用留数定理求逆 Z 变换

题目： 已知 ，ROC 为 （因果序列），求 。

第一步：构造被积函数

第二步：找极点

有两个一阶极点：，，均在围道 （）内部。

第三步：计算留数

第四步：求和

---

6-4-2 ☆ 查表法求解 IZT

例：

分母因式分解：

查 Z 变换表，已知变换对：

对比可知 ，因此：

TIP

查表法是最简单且最常用的方法。反正是开卷考试，直接打印一张查询表就行了～

---

6-4-3 ☆ 部分分式法求解 IZT

是 的有理分式：

其中 、 都是 的多项式。核心思想是将 拆分为若干简单项，分别查表求逆变换：

WARNING

每个 必须足够简单以便查表求 IZT，同时要注意各项的 ROC。

1. 展开的一般形式

设：

当 时，先做长除法提取多项式部分，再对余项因式分解：

展开为部分分式：

其中 是 的 阶重极点，（）是各单极点。

2. 各系数的求法

（多项式部分）： 当 时存在， 时为 0。

（单极点系数）： 由留数定理得：

（重极点系数）：

例：部分分式展开

已知：

此处分子阶数 ，需先做长除法，得：

然后对 继续做部分分式展开，分别查表求逆变换即可。

---

6-4-4 ☆ 长除法求解 IZT

由于 通常是有理分式，可以用长除法将分子多项式除以分母多项式，得到 的幂级数展开，从而直接读出 。

WARNING

使用长除法时，必须先根据 ROC 判断序列类型（因果/反因果/双边），再选择合适的展开方向：

• ROC 为 （因果）→ 按 的正幂展开
• ROC 为 （反因果）→ 按 的正幂展开
• ROC 为环形区域 → 拆分后分别展开

例：双边序列的长除法

题目： 求 的逆 Z 变换，ROC：

分析 ROC： 收敛域是环形区域，因此 是双边序列：

• 极点 在 ROC 内侧 → 对应右边序列（）
• 极点 在 ROC 外侧 → 对应左边序列（）

第一步：部分分式展开

第二步：对每一项做长除法

左边序列项 ，按 的正幂展开（）：

右边序列项 ，按 的正幂展开（）：

第三步：合并，写成级数形式

第四步：读出系数得到

6-5 ☆ ZT 的性质

CAUTION

本节被标注为 Key Point 。

性质	序列	Z 变换	ROC（收敛域）
基本定义
共轭
时间反转
线性性			至少包含
时移			与 相同，但可能不包含 或
指数加权			$
微分性质			与 相同，但可能不包含 或
卷积			至少包含
调制（乘积）			至少包含

Parseval's Relation

TIP

ROC 运算规则（常用结论）

若：

则：

• 时间反转：

• 调制（乘积）：

6-7 传递函数 Transfer Function

6-7-1 定义

LTI 系统的冲激响应的 ZT 称为传递函数 Transfer Function，一般是 的有理函数。

在大多数实际应用中，所关注的 LTI 数字滤波器由具有常数和实系数的线性差分方程表征，因此其传递函数是有理 ZT 。

在时域中，给定冲激响应 ：

对两边同时做 ZT ，可得

这里的 即这个 LTI 系统的传递函数。

---

6-7-2 传递函数的表示

1. FIR 系统的传递函数

FIR 系统的冲激响应 只在区间 范围内非零，所以它的转移函数就是一个有限项求和（多项式）：

其特点是没有非零反馈极点；若把 多项式改写成 的有理式，可能只在原点出现由延时带来的极点。

2. IIR 系统的传递函数

IIR 系统由常系数线性差分方程描述：

对两边做 ZT ：

处理得：

3. 传递函数的因式分解形式

对上面的分式做因式分解，得到一般形式：

其有以下特征：

1. 均为有限零点， 均为有限极点；
2. 时，根据 判断多出 个零点还是极点；
3. 对于任意因果 IIR 系统，其 ROC 在最大极点外侧，即

---

6-7-3 来自传递函数的频域响应

频率响应就是传递函数在单位圆上的取值：

将 的因式分解形式：

代入 ，得到频率响应：

其中：

• 幅度响应：
• 相位响应：

---

6-7-4 频域响应的几何解释

1. 零点向量与极点向量

定义从每个零点/极点指向单位圆上 的向量：

• 零点向量： （长度 ，角度 ）
• 极点向量： （长度 ，角度 ）

2. 频率响应的相位表达

IMPORTANT

幅度响应 = 零点向量长度之积 / 极点向量长度之积：

相位响应 = 零点向量角度之和 - 极点向量角度之和：

3. 低通滤波器与高通滤波器

低通滤波器： 极点 靠近 （）

• 时， 离极点很近 → 极点向量短 → 分母小 → 增益大
• 增大时， 远离极点 → 增益下降

高通滤波器： 极点 靠近 ，同时在 处放一个零点

• 时，零点向量长度 = 0 → 分子 = 0 → 低频完全抑制
• 增大时，零点向量变长 → 增益增大 → 高频通过

NOTE

零点的位置决定频率响应中凹谷的位置和深度：

• 零点在单位圆上 → 该频率幅度恰好为 0
• 零点趋近单位圆 → 该频率幅度趋近于 0

极点的位置决定频率响应中峰值的位置和高度：

• 极点趋近单位圆 → 该频率幅度趋近于
• 对因果系统，极点在单位圆外 → 系统不稳定

TIP

设计滤波器的几何直觉：想象一个点沿单位圆转一圈，它到各零点距离之积 / 到各极点距离之积，就画出了幅度响应曲线。

想衰减哪个频率就在那里放零点，想增强哪个频率就在那里放极点。

(好逆天的图，我要瞎了)

---

6-7-5 极点位置与稳定条件

1. BIBO 稳定条件

LTI 数字滤波器 BIBO 稳定的充要条件为冲激响应绝对可和：

等价于： 的 ROC 必须包含单位圆 。

2. 因果系统的稳定判据

对于因果 LTI 系统，ROC 为 。要使 ROC 包含单位圆，则需：

因果系统稳定 等价于 所有极点都在单位圆内部。

3. FIR v.s. IIR 的稳定性

类型	稳定性	原因
因果 FIR	永远稳定	有限长，绝对可和必然满足；极点都在
因果 IIR	不一定稳定	需确保所有极点满足 $

WARNING

即使 IIR 滤波器设计时所有极点都在单位圆内，实际数字实现中由于系数的量化误差（有限字长效应），极点位置可能发生偏移，导致原本稳定的滤波器变得不稳定。